平行線問題

     平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形．練習本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段．

　　正因為平行線在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學幾何的基本知識．

　　正因為平行線在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學家非常重視的研究對象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認識宇宙空間中起著非常重要的作用．

　　例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°

　　分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2=

過C點作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移．

　　證 過C點作直線l，使l∥a(圖1－19)．因為a∥b，所以b∥l，所以

　　因為AC平分∠1，BC平分∠2，所以

　　又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯角相等)，所以

　　說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立， 即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”

　　由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解．

　　例2 如圖1－21所示，AA₁∥BA₂求∠A₁-∠B₁+∠A₂．

　　分析 本題對∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關(guān)．也就是說，不管∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即

　　猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B₁一分為二使其每一部分分別等于∠A₁與∠A₂．這就引發(fā)我們過B₁點引AA₁(從而也是BA₂)的平行線，它將∠B₁一分為二．

　　證 過B₁引B₁E∥AA₁，它將∠A₁B₁A₂分成兩個角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．

　　因為AA₁∥BA₂，所以B₁E∥BA₂．從而

　　即 ∠A₁-∠B₁+∠A₂=0．

　　說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實質(zhì)在于AA₁∥BA₂，它與連接A₁，A₂兩點之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖1－23所示．連接A₁，A₂之間的折線段增加到4條：A₁B₁，B₁A₂，A₂B₂，B₂A3，仍然有

　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

　　這時，連結(jié)A₁，A_n之間的折線段共有n段A₁B₁，B₁A₂，…，B_n-₁A_n(當然，仍要保持 AA₁∥BA_n)．

　　(2)這個問題也可以將條件與結(jié)論對換一下，變成一個新問題．

　　問題1 如圖1－24所示．∠A₁+∠A₂=∠B₁，問AA₁與BA₂是否平行？

　　問題2 如圖1－25所示．若

　　例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，

　　求∠C．

　　分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F點作BC的平行線恰能實現(xiàn)這個目標．

　　解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則

　　因為 AE∥BD，所以

　　說明(1)運用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．

　　(2)在學過“三角形內(nèi)角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

　　例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．

　　分析 平角為180°．若能運用平行線的性質(zhì)，將三角形三個內(nèi)角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決， 下面方法是最簡單的一種．

　　證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則

　　顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，

　　所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

　　說明 事實上，我們可以運用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩．同學們不妨試一試這種較為麻煩的證法．

　　例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°．

　　分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當?shù)钠叫芯€，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程．

　　 證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

　　又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)．

　　由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

　　說明(1)同例3，周角的頂點可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．

　　(2)總結(jié)例3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：

　　(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．

　　例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點在同一條直線上．

　　分析A，B，C三點在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點B處．

　　證 過B作直線 BD，交l于D．因為AB∥l，CB∥l，所以

　　又∠1+∠2=180°，所以

　　即∠ABC=180°=平角．

　　A，B，C三點共線．

　　思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個點A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？

　　例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

　　　　求證：∠3=∠B．

　　分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．

　　證 因為∠1=∠2，所以

　　因為∠D=90°及EF⊥CD，所以

　　所以 BC∥EF(平行公理)，

　　1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

　　2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．

　　3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？

　　4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°．

　　5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．